Matemātika kā realitātes pamats: vai visums ir ne tikai ar matemātiku aprakstāms, bet pats ir matemātiska struktūra?
Jautājums, vai matemātika ir tikai cilvēka radīts instruments pasaules aprakstam, vai tā slēpjas pašas realitātes kodolā, ir viens no dziļākajiem filozofijas un fizikas jautājumiem. No vienas puses, matemātika šķiet kā ārkārtīgi efektīva valoda, kas ļauj modelēt dabas likumus, prognozēt parādības un radīt tehnoloģijas. No otras puses, tās panākumi ir tik lieli, ka daži domātāji sāk jautāt, vai tas ir tikai valodas ērtums vai zīme, ka pats visums būtībā ir matemātisks. Šis raksts pēta šo radikālo ideju, tās vēsturiskās saknes, mūsdienu formas, svarīgākos domātājus, spēcīgākos argumentus un būtiskākās kritikas.
Kāpēc jautājums par matemātiku patiesībā ir jautājums par pašu realitāti
Pirmo acu uzmetiena varētu šķist, ka matemātika ir tikai ļoti spēcīga valoda. Tā ļauj precīzi skaitīt, modelēt, apkopot un prognozēt, tāpēc ir dabiski, ka zinātne to izmanto. Tomēr tieši šeit slēpjas noslēpums: matemātikas panākumi neaprobežojas tikai ar ērtu simbolu spēli. Tā pastāvīgi pārkāpj to, kas jau zināms, robežas un bieži ļauj atklāt to, kas vēl nav novērots. Formula vispirms parādās uz papīra, un tikai pēc tam kļūst skaidrs, ka realitāte uzvedas tieši tā, kā tā prasa.
Tāpēc jautājums par matemātiku nav tikai tehnisks vai epistemoloģisks. Tas ātri kļūst par ontoloģisku. Ja daba tik konsekventi pakļaujas matemātiskajiem likumiem, vai tas nozīmē, ka matemātika precīzi atspoguļo pasauli? Vai varbūt vēl vairāk — ka pasaule visdziļākajā līmenī ir matemātiskas struktūras veidā? Daži domātāji apgalvo, ka skaitļi, simetrijas, topoloģijas un attiecības nav tikai cilvēka prāta radītas jēdzieni, bet ir pašas realitātes karkass.
Šāda pozīcija ir radikāla, jo tā pārvieto matemātiku no instrumenta statusa uz ontoloģisku pamatu. Ja visums ir matemātisks, tad mūsu ierastā materiālā pasaule kļūst nevis par pirmreizēju dotību, bet par noteiktas struktūras izpausmi. Tā ir ļoti drosmīga doma, taču tā neparādījās no nekā. Tai ir gara vēsture un tā cieši saistīta ar pašiem spēcīgākajiem zinātnes sasniegumiem.
Dažādas pozīcijas par matemātiku un realitāti
| Pozīcija | Ko tā apgalvo | Galvenā priekšrocība | Galvenā grūtība |
|---|---|---|---|
| Instrumentālisms | Matemātika ir ļoti noderīga cilvēka radīta valoda pasaules aprakstam. | Nav nepieciešamas metafiziskas pieņēmumi par skaitļu „eksistenci“. | Grūti izskaidrot, kāpēc šī valoda tik dziļi atbilst fiziskajai realitātei. |
| Matemātiskais platonisms | Matemātiskie objekti pastāv neatkarīgi no mūsu prāta, un mēs tos atklājam. | Izskaidro matemātikas objektivitāti un pastāvīgumu. | Nav skaidrs, kā cilvēki iegūst zināšanas par nemateriāliem objektiem. |
| Strukturālisms | Svarīgākie nav individuāli matemātiskie objekti, bet to attiecības un struktūras. | Labi saskan ar mūsdienu fizikas uzmanību simetrijām un modeļiem. | Paliek jautājums, vai struktūras pastāv pašas par sevi. |
| Matemātiskās visuma hipotēze | Fiziskā realitāte un matemātiskā struktūra ir viens un tas pats. | Radikāli izskaidro matemātikas efektivitāti un apvieno ontoloģiju ar fiziku. | Ļoti grūti empīriski pārbaudīt un filozofiski pilnībā pamatot. |
1Vēsturiskās saknes: no Pitagora līdz Galilejam
Domāšana, ka matemātika var būt vairāk nekā tikai skaitīšanas instruments, ir ļoti sena. Pitagorieši ticēja, ka „viss ir skaitlis“. Šis apgalvojums šodien var šķist simbolisks, taču viņu kontekstā tas izteica ļoti nopietnu intuīciju: pasaules kārtība, harmonija, muzikālas proporcijas un kosmiska struktūra ir saistītas ar skaitliskām attiecībām. Viņiem matemātika nebija tikai praktiska disciplīna, bet gandrīz ontoloģiska atslēga uz realitāti.
Platons šo intuīciju pārcēla vēl plašākā filozofiskā līmenī. Viņa ideju teorijā pilnīgas formas pastāv nemainīgā, nemateriālā līmenī, bet materiālā pasaule ir to nepilnīgs atspulgs. Matemātiskie objekti šādā modelī ir īpaši svarīgi, jo tie šķiet universālāki, precīzāki un mazāk atkarīgi no jutīgās pasaules nepilnībām. Trijstūra ideja nekad nav „kļūdaina“, pat ja reālie zīmējumi vienmēr satur defektus.
Vēlāk, mūsdienu zinātnes sākumā, Galilejs skaļi apgalvoja, ka daba ir uzrakstīta matemātikas valodā. Tas bija izšķirošs pavērsiens. Matemātika šeit vairs nav tikai metafiziska intuīcija, bet praktisks dabas izpētes instruments. Un tieši no šī brīža matemātika galīgi nostiprinās kā spēcīgākais fiziskās realitātes apraksta veids.
2Vignera jautājums: kāpēc matemātika ir tik „neprātīgi“ efektīva?
Viena no slavenākajām šīs tēmas formulācijām pieder Ūdžinam Vigneram, kurš 1960. gadā runāja par „neticamo matemātikas efektivitāti dabas zinātnēs“. Viņa jautājums joprojām ir iespaidīgs: kāpēc cilvēka radītā vai atklātā abstraktā sistēma tik pārsteidzoši precīzi der fiziskā pasaules aprakstam?
Šeit problēma nav tikai tā, ka matemātika palīdz skaitīt. Dīvaini ir tas, ka teorijas, kas reizēm radītas nevis fiziskai pielietošanai, vēlāk izrādās būtiskas dabas aprakstam. Simetriju teorija, kompleksie skaitļi, diferenciālā ģeometrija vai grupu teorija bieži sākotnēji šķiet kā tīri matemātiski konstrukti, bet vēlāk kļūst neaizvietojami fizikā.
Vignera jautājums nebija galīgā atbilde, bet tas formulēja būtisku spriedzi. Ja matemātika būtu tikai nejauši efektīva, tās panākumi šķistu gandrīz brīnumaini. Ja tā ir tik efektīva tāpēc, ka pasaule pati ir dziļi matemātiska, tad jautājums pāriet uz ontoloģijas līmeni. Tieši šeit sākas radikālākas hipotēzes.
„Lielā matemātikas noslēpuma būtība nav tikai tā, ka tā ir noderīga, bet gan tas, ka tā tik dziļi sakrīt ar pasaules kārtību, it kā daba un struktūra būtu runājušas vienā valodā vēl pirms mēs to formulējām.“
Vignera jautājuma gars3Matemātiskās visuma hipotēze: Maksa Tegmarka radikālais secinājums
Viens no spilgtākajiem mūsdienu šīs virziena pārstāvjiem ir Makss Tegmarks. Viņa matemātiskā visuma hipotēze piedāvā ļoti spēcīgu formulējumu: ārējā fiziskā realitāte nav tikai aprakstīta ar matemātisku struktūru — tā pati ir matemātiska struktūra. Citiem vārdiem sakot, nav atšķirības starp fizisko būtību un matemātisko attiecību tīklu, ja šis tīkls ir pietiekami konsekvents.
Šī hipotēze balstās vairākās pamatdomās. Pirmkārt, ja fizika arvien vairāk reducējas uz abstraktiem matemātiskiem attiecību tīkliem, var būt, ka tā sauktā „materiālā substancija“ nav papildu ontoloģisks slānis. Otrkārt, ja matemātiskās struktūras pastāv neatkarīgi no mums, tad visums var būt viena no tām. Treškārt, dažas hipotēzes versijas iet vēl tālāk un apgalvo, ka visas matemātiski konsekventās struktūras kādā nozīmē „eksistē“, un mūsu visums ir tikai viena no daudzajām iespējām realizācijām.
Kāpēc šī hipotēze ir pievilcīga
Tā ļoti eleganti izskaidro matemātikas efektivitāti: ja realitāte ir matemātika, nav jābrīnās, ka matemātika to tik precīzi apraksta.
Kāpēc tā rada spriedzi
Tā pārkāpj ierasto fizikas un metafizikas robežu, jo „matemātiskās eksistences“ jēdziens kļūst ļoti plašs un grūti empīriski pārbaudāms.
Šī ideja bieži šķiet gandrīz pārāk drosmīga, taču tās vērtība slēpjas ne tikai galīgajā apgalvojumā. Tā liek precīzāk jautāt, ko vispār nozīmē „eksistēt“ un vai fiziskā pasaule tiešām satur vairāk ontoloģiskas „vielas“ nekā konsekvents matemātisks apraksts.
4Matemātiskais platonisms: vai mēs matemātiku atklājam, nevis izgudrojam?
Matemātiskais platonisms apgalvo, ka matemātiskie objekti pastāv neatkarīgi no mūsu prāta. Skaitļi, ģeometriskās struktūras, topoloģiskās attiecības vai loģiskās saites nav tikai ērtas cilvēku vienošanās. Mēs tās atklājam tāpat kā astronoms atklāj debess ķermeni, nevis radām tā, kā dzejnieks rada metaforu.
Šāda pieeja šķiet pievilcīga vairāku iemeslu dēļ. Pirmkārt, matemātiskās patiesības šķiet objektīvas. Apgalvojums, ka ir bezgalīgs daudzums pirmskaitļu, nav atkarīgs no valodas, kultūras vai laikmeta. Otrkārt, dažādi cilvēki un pat dažādas civilizācijas, sasniedzot to pašu abstrakcijas līmeni, būtu jāatklāj tās pašas patiesības. Tas ļauj domāt, ka matemātika nav tikai lokāls cilvēka produkts.
Rodžeris Penrouzas ir viens no spilgtākajiem mūsdienu domātājiem, kas atbalsta šādu pieeju. Viņa darbos matemātika netiek reducēta uz simbolu manipulāciju. Tā ir neatkarīgu struktūru joma, kurā cilvēka prāts kaut kādā veidā piedalās. Tomēr šeit rodas arī viens no grūtākajiem jautājumiem: ja matemātiskie objekti ir nemateriāli un neatkarīgi, kā mēs vispār par tiem uzzinām? Kāds ir tilts starp cilvēka smadzenēm un šo abstrakto jomu?
5Kā matemātika saistīta ar fiziku: ne tikai valoda, bet arī struktūra
Fizika bez matemātikas praktiski nav iedomājama. Tomēr šeit svarīgi nav tikai tas, ka matemātika tiek izmantota aprēķiniem. Svarīgākais ir tas, ka fizikas likumi bieži tiek izteikti kā simetrijas, vienādojumu attiecības, invarianti un transformācijas — citādi sakot, kā tīras struktūras.
Likumi kā matemātiskas attiecības
No Ņūtona mehānikas līdz Einšteina lauka vienādojumiem, no Šrēdingera vienādojuma līdz kvantu lauku teorijām, fizika pastāvīgi pierāda, ka pasauli var aprakstīt kā attiecību sistēmu. Ne materiālais „lietu saturs“, bet to strukturālie sakari kļūst par zinātnes kodolu.
Simetrija un grupu teorija
Mūsdienu fizikā simetriju loma ir gandrīz centrāla. Grupas teorija ļauj aprakstīt transformācijas, kas nemaina sistēmas būtiskās īpašības, un tieši šādas simetrijas bieži izskaidro daļiņu fiziku, spēku vienotību un saglabājošos lielumus. Tas ir īpaši svarīgi, jo rāda, ka fiziskā pasaule ne tikai „piemīt matemātiskas īpašības“, bet ļoti dziļi pakļaujas abstraktām struktūrām.
Stīgu teorija un augstākas struktūras
Stīgu teorija, lai gan vēl nav apstiprināta, ir vēl viens piemērs tam, kā fizika kļūst arvien matemātiskāka. Papildu dimensijas, topoloģiskās struktūras un sarežģītā ģeometrija šeit nav tikai blakus detaļas. Tās veido pašas teorijas būtību. Šādas virziena pastiprina iespaidu, ka matemātika nav tikai pasaules ilustrēšanas līdzeklis, bet var būt tās dziļākais karkass.
Klasiskā fizika
Matemātika ļauj precīzi aprakstīt kustību, spēkus, orbītas un mehāniskos likumus.
Relatīvisms
Telpas-laika ģeometrija kļūst par pašu gravitācijas apraksta veidu, tāpēc matemātika šeit nav ārēja, bet būtiska.
Kvantfizika
Kompleksie skaitļi, operatori un varbūtības struktūras liek pasauli aprakstīt vēl abstraktākā valodā.
Šīs tēmas galvenais paradokss
Jo dziļāk fizika skaidro pasauli, jo vairāk „lietišķais“ Visums sāk izskatīties kā attiecību, simetriju, likumu un struktūru tīkls. Tomēr no tā vēl neizriet, ka matemātika un realitāte ir viens un tas pats. Tieši šī spriedze veido visas diskusijas centru.
6Filosofiskas un kosmoloģiskas sekas: ko nozīmētu, ja Visums patiešām būtu matemātisks
Ja Visums dziļākajā līmenī ir matemātiska struktūra, sekas būtu milzīgas. Pirmkārt, tas nozīmētu, ka tas, ko uzskatām par materiālo realitāti, varētu būt sekundārs parādības slānis. Materiāls, telpa, laiks un pat fiziski objekti kļūtu par kādas struktūras realizācijām, nevis galīgām ontoloģiskām vienībām.
Realitāte kā struktūra
Šādā gadījumā pasaule nebūtu „veidota no lietām“ klasiskā nozīmē, bet no attiecībām, noteikumiem un strukturālām saitēm. Tas šo koncepciju pietuvina struktūrālismam, kur svarīgākais nav atsevišķa „substancija“, bet tās vieta un loma visā sistēmā.
Multiversa iespējamība
Tegmarka spēcīgajā hipotēzes versijā visas matemātiski konsekventās struktūras varētu būt ar noteiktu eksistenciālu statusu. Šāda pieeja atver durvis ļoti radikālai multiversa koncepcijai, kur pastāv ne tikai mūsu visums, bet arī visas citas strukturāli iespējamas pasaules. Tas dramatiski maina jautājumu par unikālumu: mūsu kosmoss kļūtu nevis par vienīgo izņēmumu, bet par vienu no daudzām matemātiskā iespējamības realizācijām.
Cilvēka vieta visumā
Ja realitāte ir matemātiska, cilvēka izpratnei ir jauns svars. Pasaules iepazīšana tad nozīmē ne tikai jutekļu datu vākšanu, bet arī arvien dziļāku struktūru, kas to veido, izpratni. Tādā veidā matemātiskā izpratne kļūst nevis par tehnisku rīku, bet par vienu no dziļākajiem veidiem, kā pieskarties pašas realitātes audumam.
7Izziņas jautājumi: kā mēs varētu iepazīt matemātisko realitāti?
Ja matemātiskās struktūras pastāv neatkarīgi no cilvēka, rodas ļoti sarežģīts epistemoloģisks jautājums: kā ierobežotais, bioloģiskais prāts pie tām piekļūst? Kā ir iespējams, ka neironu darbība smadzenēs nodrošina piekļuvi mūžīgiem, nemainīgiem un neruļļojošiem objektiem?
Daži atbild, ka matemātika nav tieši „domāta par atsevišķu aizpasauli“, bet ir mūsu spēja atpazīt struktūras, kas pašas parādās realitātē. Citi apgalvo, ka cilvēka prātam ir īpaša saikne ar abstraktu kārtību, tāpēc tas var sasniegt to, kas nav tikai jutekļu pieredze. Vēl citi cenšas visu reducēt uz valodas, loģikas vai kognitīvo darbību, tā izvairoties no spēcīga platonisma.
Šis jautājums ir ļoti svarīgs, jo tas parāda, ka matemātiskā visuma koncepcija nevar būt tikai „skaists zinātnes sauklis“. Tai jāatbild arī uz to, kā vispār ir iespējama mūsu izpratne, ja realitāte ir tik abstrakti dziļa.
Spēcīgā platoniskā intuīcija
Matemātiskās patiesības šķiet pārāk stabilas un universālas, lai būtu tikai nejaušs cilvēka valodas produkts.
Skeptiskā intuīcija
Varbūt pasaulē atrodam matemātiskus modeļus tāpēc, ka paši izvēlamies redzēt to, ko matemātika ļauj skaidri strukturēt un izmērīt.
8Kritika un izaicinājumi: kas šajā hipotēzē var būt pārāk drosmīgs
Lai gan ideja, ka matemātika ir realitātes pamats, ir aizraujoša un spēcīga, tā saskaras ar nopietnu kritiku. Galvenā kritika ir empīriska: matemātiskās visuma hipotēzes pārbaude ir ļoti sarežģīta. Tā bieži pārsniedz tradicionālo zinātnes metodi, jo tā piedāvā vispārēju ontoloģisku apgalvojumu par to, kas vispār pastāv, nevis konkrētu novērojumu prognozi.
Apraksts nav tas pats, kas identitāte
Kritiķi uzsver, ka pat ļoti veiksmīgs matemātisks apraksts vēl neapliecina ontoloģisko identitāti. Tas, ka karte ļoti precīzi attēlo pilsētu, vēl nenozīmē, ka pilsēta un karte ir viens un tas pats. Līdzīgi var teikt, ka fizika izmanto matemātiku ne tāpēc, ka pasaule „ir matemātika“, bet tāpēc, ka matemātika ir īpaši laba strukturēta apraksta rīks.
Antropiskais arguments
Viena no mērenākajām skaidrojumam saka, ka mums šķiet, ka Visums ir ļoti matemātisks, jo tikai tik kārtīgs un likumsakarīgs Visums vispār ļauj rasties apzinātām būtnēm, kas var attīstīt matemātiku. Šādā gadījumā matemātikas efektivitāte ne vienmēr liecina, ka pasaule „ir veidota no matemātikas“, bet drīzāk atspoguļo atlases efektu.
Pārmērīgas ontoloģijas risks
Tegmarka doma, ka visas konsekventās matemātiskās struktūras pastāv, dažiem šķiet pārāk plaša. Ja katra konsekventa struktūra „eksistē“, rodas jautājums, vai teorija patiešām kaut ko izskaidro, vai vienkārši paplašina eksistences jēdzienu tik tālu, ka tas zaudē skaidru saturu.
Empīriskās pārbaudes grūtības
Hipotēze ir ļoti dziļa, bet grūti tieši pārbaudāma prognoze, kas vājinās tās zinātnisko statusu tradicionālā nozīmē.
Apraksta un būtības atšķirība
Pat ja matemātika perfekti apraksta pasauli, no tā vēl neizriet, ka tā ir pati pasaules būtība.
Iepazīšanas paradokss
Ja matemātiskās struktūras pastāv neatkarīgi, joprojām paliek atvērts jautājums, kā cilvēka prāts pie tām pietuvojas.
„Šīs idejas lielākais jautājums nav tas, vai matemātika ir noderīga, bet vai ir iespējams pārsniegt tās efektivitāti un pamatoti teikt: pasaule ne tikai ir saprotama matemātiski, bet pati ir matemātika.“
Efektivitāte vēl nav ontoloģija9Kāpēc šī ideja tomēr ir svarīga, pat ja tā paliek diskutabla
Pat ja cilvēks skeptiski vērtē spēcīgākās matemātiskā Visuma versijas, pati diskusija ir ārkārtīgi vērtīga. Tā liek precīzāk saprast, kas vispār ir zinātnisks skaidrojums, kāds ir matemātikas un empīrisko datu attiecības, kā veidojas teorijas un kāpēc fizika pastāvīgi atgriežas pie arvien abstraktākām struktūrām.
Šī ideja ir svarīga arī tāpēc, ka veicina filozofisku pazemību. Tā atgādina, ka tas, kas ikdienas pieredzē šķiet „acīmredzams“ — materiāls, taustāms, stabils objektu pasaulis — var nebūt galīgais skaidrojuma līmenis. Vēsture jau vairākkārt ir parādījusi, ka pasaule dziļākā līmenī ir dīvaināka, nekā intuīcija liek domāt.
Turklāt matemātika kā realitātes pamata ideja iedvesmo arī praktisko zinātni. Katrs solis precīzāku modeļu veidošanā, simetriju skaidrošanā, kosmoloģijas vai kvantu gravitācijas pētīšanā patiesībā turpina to pašu meklējumu: kas ir tā struktūrvienība, no kuras rodas pasaule, ko mēs redzam?
10Secinājums: ja Visums ir matemātisks, jautājums paliek atvērts, bet tā dziļums ir nenoliedzams
Matemātikas un realitātes attiecību jautājums ir viens no tiem, kas neļauj viegli atdalīt ne zinātni, ne filozofiju. Pitagorieši, Platons, Galilejs, Vigners, Penroze un Tegmarks — visi viņi dažādos veidos atgriežas pie tā paša brīnuma: kāpēc abstraktā struktūra tik dziļi rezonē ar to, ko saucam par pasauli?
Spēcīgākā šīs virziena versija apgalvo, ka matemātika nav tikai apraksta līdzeklis, bet pati realitātes būtība. Mierīgāka pozīcija saka, ka matemātika vienkārši ir precīzākā un universālākā valoda, ko līdz šim esam atraduši pasaules modelēšanai. Abām pozīcijām ir nopietni argumenti un nopietnas grūtības. Tomēr pat neizlemjot tās galīgi, ir skaidrs viens: matemātika nav nejauša cilvēka prāta spēle. Tā ir pārāk dziļi ieausta mūsu pasaules izpratnē, lai to varētu uzskatīt tikai par ērtu rīku.
Varbūt šīs tēmas patiesā vērtība slēpjas tieši atklātībā. Tā atgādina, ka fizika var kļūt par metafiziku, kad sāk uzdot ne tikai jautājumu „kā darbojas pasaule“, bet arī „kas pasaule ir“. Un matemātika, ko tik bieži uzskatām par sausu formalitāti, pēkšņi parādās kā viena no dīvainākajām un dziļākajām cilvēces durvīm uz realitātes noslēpumu.
Ieteicamā literatūra un virzieni turpmākai pārdomai
- Makss Tegmarks Mūsu matemātiskais Visums
- Eugene Wigner Matemātikas neracionālā efektivitāte dabas zinātnēs
- Rodžers Penrouzs Ceļš uz realitāti
- Platons Valsts un Timajs
- Mary Leng Matemātika un realitāte
- Teksti par matemātisko platonismu, strukturalismu un nominalismu — plašākam filozofiskam kontekstam.
- Mūsdienu fizikas literatūra par simetrijām, grupu teoriju un kvantu gravitāciju — lai saprastu, kāpēc matemātika mūsdienu zinātnē ir tik centrāla.
Turpiniet lasīt šo sēriju
Plašāka ievads teorijās un pasaules uzskatos, kas apsver vienas vai daudzu realitāšu iespējamību.
Kā fizika un filozofija skaidro iespējamo Visumu daudzveidību un mūsu pasaules vietu plašākā kontekstā.
Par kvantu nenoteiktību, interpretācijām un zaroto pasaules jēdzienu.
Kā augstākas dimensijas modeļi paplašina mūsu izpratni par pasaules struktūru.
Filosofisks scenārijs, kas uzdod jautājumu, vai realitāte var būt mākslīgi ģenerēta vide.
Kā apziņu var saprast realitātes kontekstā — kā produktu, dalībnieku vai pat pamatu.
Kā skaitļi, simetrijas un struktūras kļūst par kandidātiem uz dziļāko Visuma karkasu.
Kā relativitātes teorija, paradoksi un zarotās vēstures ļauj pārdomāt laika dabu.
Metafiziska perspektīva par apziņu, iemiesojumu un iespējamu cilvēka līdzdalību plašākā radošā realitātē.
Radikālāka interpretācija par cilvēka stāvokli, iemiesojuma robežām un attiecībām ar pasauli.
Kā kontrafaktiskās vēstures ļauj izpētīt citas realitātes virzienus un iespējamos pasaules.
Kā mūsdienu fizika uzdod jautājumu, vai mūsu trīsdimensiju realitāte var būt dziļākas informatīvās apraksta izpausme.
Kā dažādas kosmoloģijas skaidro Visuma sākumu un plašākas realitātes iespējamību.